Упр.525 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна $$180^\circ$$.
- Расстояние от точки $$M$$, лежащей внутри треугольника $$ABC$$, до прямой $$AB$$ равно $$6$$ см, а до прямой $$AC$$ равно $$2$$ см. Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$, если $$AB=13$$ см, $$BC=14$$ см, $$AC=15$$ см.
Площадь треугольника $$ABC$$ можно представить как сумму площадей треугольников $$ABM$$, $$BMC$$ и $$AMC$$:
$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BMC}+S_{AMC}.$$
Найдём площадь $$\triangle ABC$$ по формуле Герона. Полупериметр:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21.$$
Тогда
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} =84\ \text{см}^2.$$
Площади треугольников $$ABM$$ и $$AMC$$ равны:
$$S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot MH=\frac12\cdot 13\cdot 6=39\ \text{см}^2,$$
$$S_{AMC}=\frac12\cdot AC\cdot ME=\frac12\cdot 15\cdot 2=15\ \text{см}^2.$$
Тогда
$$S_{BMC}=S_{ABC}-S_{ABM}-S_{AMC}=84-39-15=30\ \text{см}^2.$$
С другой стороны,
$$S_{BMC}=\frac12\cdot BC\cdot MF=\frac12\cdot 14\cdot MF=7MF.$$
Следовательно,
$$7MF=30,\qquad MF=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}\ \text{см}.$$
Ответ: $$4\frac{2}{7}\ \text{см}.$$
