Упр.524 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Стороны треугольника равны $$13\ \text{см}$$, $$5\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$. Найдите площадь этого треугольника.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения биссектрис углов параллелограмма через $$M, N, P, S$$. Докажем, что четырёхугольник $$NMPS$$ — прямоугольник.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$, а также $$\angle A=\angle C$$, $$\angle B=\angle D$$.

Рассмотрим угол при вершине $$B$$. Поскольку $$BN$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$AN$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, то

$$\angle ABN=\frac12\angle B,\qquad \angle BAN=\frac12\angle A.$$

Тогда

$$\angle ABN+\angle BAN=\frac12(\angle B+\angle A).$$

Смежные углы параллелограмма удовлетворяют равенству $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, значит

$$\angle ABN+\angle BAN=90^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$ABN$$

$$\angle BNA=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Аналогично для треугольника, образованного биссектрисами углов при вершинах $$C$$ и $$D$$, получаем

$$\angle CPD=90^\circ.$$

Теперь заметим, что углы $$\angle MNS$$ и $$\angle BNA$$ — вертикальные, значит

$$\angle MNS=90^\circ.$$

Аналогично

$$\angle MPS=90^\circ.$$

Кроме того, противоположные стороны четырёхугольника $$NMPS$$ параллельны: одна пара лежит на биссектрисах углов при параллельных сторонах $$AB \parallel CD$$, другая — на биссектрисах углов при параллельных сторонах $$BC \parallel AD$$. Значит, $$NMPS$$ — параллелограмм, у которого один угол прямой.

Следовательно, $$NMPS$$ — прямоугольник.