Упр.523 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
2. Два квадрата со стороной $$a$$ имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Пусть $$ABCD$$ — один квадрат, а $$AEFK$$ — другой. По условию $$AB=AE=a$$, причём сторона $$AE$$ лежит на диагонали $$AC$$ первого квадрата.

Найдём площадь общей части квадратов.

Общая часть равна разности площадей:

$$S_{AEQD}=S_{ACD}-S_{ECQ}.$$

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot DC=\frac12\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}.$$

Диагональ квадрата $$AC$$ найдём по теореме Пифагора:

$$AC^2=AD^2+DC^2=a^2+a^2=2a^2,$$

откуда

$$AC=a\sqrt2.$$

Тогда

$$EC=AC-AE=a\sqrt2-a=a(\sqrt2-1).$$

Треугольник $$ECQ$$ прямоугольный, так как $$AC\perp EF$$, значит $$\angle ECQ=45^\circ$$, следовательно, $$\triangle ECQ$$ равнобедренный и

$$EQ=EC.$$

Тогда

$$S_{ECQ}=\frac12\cdot QE\cdot EC=\frac12\cdot EC^2=\frac12\cdot a^2(\sqrt2-1)^2.$$

Вычислим:

$$S_{ECQ}=\frac12 a^2(2-2\sqrt2+1)=\frac12 a^2(3-2\sqrt2).$$

Теперь найдём площадь общей части:

$$S_{AEQD}= \frac{a^2}{2}-\frac12 a^2(3-2\sqrt2) = \frac{a^2}{2}(2\sqrt2-2) = a^2(\sqrt2-1).$$

Ответ: $$a^2(\sqrt2-1).$$