Упр.523 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Обозначим вершины четырёхугольника через $$B F D E$$. Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$.

Поскольку $$DF \parallel AB$$, а прямая $$BC$$ является секущей, то $$\angle BCF=\angle FDC$$ как соответственные. Следовательно, $$\triangle DFC$$ равнобедренный, значит $$FC=FD$$.

Так как $$FD \parallel EB$$ и $$BF \parallel ED$$, то четырёхугольник $$BFDE$$ — параллелограмм. Поэтому $$FD=BE$$ и $$BF=ED$$.

Аналогично, из $$ED \parallel BC$$ и секущей $$AC$$ получаем $$\angle C=\angle EDA$$, значит $$\triangle AED$$ равнобедренный, откуда $$AE=ED$$.

Теперь найдём периметр четырёхугольника:

$$ P_{BFDE}=BF+FD+DE+EB $$
$$ =ED+BE+DE+EB $$
$$ =2ED+2BE $$
$$ =2(AE+BE) $$
$$ =2AB. $$

Так как $$AB=BC$$, то

$$ P_{BFDE}=2AB=AB+BC. $$

Следовательно, периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Ответ

$$P=AB+BC$$