Упр.522 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны параллелограмма равны $$10\text{ см}$$ и $$3\text{ см}$$. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
- В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=17\text{ см}$$, $$BC=5\text{ см}$$ и боковой стороной $$AB=10\text{ см}$$ через вершину $$B$$ проведена прямая, делящая диагональ $$AC$$ пополам и пересекающая основание $$AD$$ в точке $$M$$. Найдите площадь треугольника $$BDM$$.
Обозначим противоположную сторону параллелограмма через $$DC$$. Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel DC$$ и $$AD \parallel BC$$.
Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает $$DC$$ в точке $$E$$, а биссектриса угла $$B$$ — в точке $$F$$.
Рассмотрим треугольник $$ADE$$. Прямая $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$AB \parallel DC$$, значит
$$\angle DAE=\angle AED.$$
Следовательно, $$\triangle ADE$$ равнобедренный, поэтому
$$DE=AD=3\text{ см}.$$
Аналогично рассмотрим треугольник $$BCF$$. Так как $$BF$$ — биссектриса угла $$B$$ и $$AB \parallel DC$$, то
$$\angle CBF=\angle BFC,$$
значит $$\triangle BCF$$ равнобедренный, и потому
$$FC=BC=3\text{ см}.$$
Теперь найдём средний отрезок:
$$EF=DC-DE-FC.$$
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $$DC=AB=10\text{ см}$$. Тогда
$$EF=10-3-3=4\text{ см}.$$
Итак, противоположная сторона разделена на отрезки $$3\text{ см}$$, $$4\text{ см}$$ и $$3\text{ см}$$.
Ответ: $$3\text{ см},\ 4\text{ см},\ 3\text{ см}.$$
