Упр.522 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.
Обозначим точку пересечения прямой, проведённой через вершину $$B$$, с диагональю $$AC$$ через $$E$$, а с основанием $$AD$$ — через $$M$$.
Так как $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, то $$AD \parallel BC$$ и $$AB=CD$$. Опустим перпендикуляры $$BH \perp AD$$ и $$CF \perp AD$$.
Из равенства боковых сторон равнобедренной трапеции следует, что проекции на основание равны:
$$AH=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{17-5}{2}=6\text{ см}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$BH^2=AB^2-AH^2=10^2-6^2=100-36=64,$$
откуда
$$BH=8\text{ см}.$$
По условию $$BE$$ — медиана диагонали $$AC$$, значит $$AE=EC$$. Рассмотрим треугольники $$AEM$$ и $$BEC$$.
У них:
- $$\angle BEC=\angle AEM$$ — вертикальные;
- $$\angle BCE=\angle EAM$$ — накрест лежащие при $$AD \parallel BC$$;
- $$AE=EC$$.
Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle BEC$$, откуда
$$AM=BC=5\text{ см}.$$
Тогда
$$MD=AD-AM=17-5=12\text{ см}.$$
Площадь треугольника $$BDM$$ равна
$$S_{BDM}=\frac{1}{2}\cdot MD \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 8=48\text{ см}^2.$$
Ответ
$$48\text{ см}^2$$
