Упр.521 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла A? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то $$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$$.

Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$E$$.

Найдём сначала сторону $$AD$$. Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его периметр равен

$$P_{ABCD}=2(AB+AD).$$

По условию

$$46=2(14+AD),$$

откуда

$$23=14+AD,$$

$$AD=9\text{ см}.$$

Следовательно, $$BC=AD=9\text{ см}$$ и $$CD=AB=14\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADE$$. Так как $$AB \parallel CD$$, а $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle DAE=\angle AEC,$$

то есть в треугольнике $$ADE$$ углы при основании равны. Значит, $$\triangle ADE$$ равнобедренный, и

$$DE=AD=9\text{ см}.$$

Тогда

$$EC=CD-DE=14-9=5\text{ см}.$$

Итак, биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$.

Ответ

$$CD; \quad DE=9\text{ см}, \quad EC=5\text{ см}.$$