Упр.520 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания равнобедренной трапеции через $$BC$$ и $$AD$$, а высоту, опущенную из точки $$B$$ на основание $$AD$$, — через $$BH$$. Тогда площадь трапеции равна

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot BH.$$

По условию $$BC+AD=2a$$, значит

$$S_{ABCD}=a\cdot BH.$$

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CF\parallel AD$$, а через точку $$D$$ — прямую $$DF\perp CF$$. Тогда $$BF\parallel AD$$ и четырёхугольник $$BHFD$$ — прямоугольник.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$. Кроме того, $$AD$$ — общая сторона, а углы при основании равны, поэтому треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$BD=AC.$$

По условию диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, значит $$AC\perp BD$$. Поскольку $$AC\parallel HF$$, получаем $$HF\perp BD$$. Следовательно, четырёхугольник $$BHDF$$ — квадрат, а значит

$$BH=BD.$$

Но в квадрате его сторона равна высоте, поэтому из равенства площадей и построения получаем

$$S_{BHDF}=BH^2,$$

а также

$$S_{ABCD}=S_{BHDF}.$$

Тогда

$$a\cdot BH=BH^2,$$

откуда

$$BH=a.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=a\cdot BH=a^2.$$

Ответ

$$a^2$$