Упр.520 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
2. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна $$2a$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ все углы острые. Тогда

$$\angle A<90^\circ,\quad \angle B<90^\circ,\quad \angle C<90^\circ,\quad \angle D<90^\circ.$$

Сложим все углы четырёхугольника:

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D<90^\circ+90^\circ+90^\circ+90^\circ=360^\circ.$$

Но сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $$360^\circ$$. Получили противоречие.

Значит, предположение неверно, и хотя бы один угол выпуклого четырёхугольника должен быть тупым.

Ответ

Хотя бы один угол выпуклого четырёхугольника тупой.