Упр.519 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$. Постройте точку, симметричную точке $$M$$ относительно середины отрезка $$AB$$.
- Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна $$h$$, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$AC \perp BD$$, $$BH=h$$ — высота трапеции.
Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$BD$$, и через точку $$D$$ прямую, параллельную $$BC$$. Обозначим точку их пересечения через $$F$$. Тогда $$BHFD$$ — прямоугольник, так как $$BH \perp AD$$ и $$DF \parallel BC \parallel AD$$, а также $$BF \parallel BD$$.
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$. У них:
- $$AD$$ — общая сторона;
- $$AB=CD$$, так как трапеция равнобедренная;
- $$\angle BAD=\angle CDA$$, поскольку $$AB$$ и $$CD$$ — боковые стороны равнобедренной трапеции.
Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$BD=AC$$.
Так как $$BF \parallel BD$$ и $$CF \parallel BD$$, то в четырёхугольнике $$BHDF$$ противоположные стороны попарно параллельны, значит это прямоугольник. Кроме того, из условия $$AC \perp BD$$ и равенства $$BD=AC$$ получаем, что диагонали прямоугольника $$BHFD$$ равны и перпендикулярны, значит $$BHFD$$ — квадрат.
Его сторона равна высоте трапеции: $$BH=h$$. Тогда
$$S_{BHFD}=h^2.$$
Площадь трапеции равна площади этого квадрата:
$$S_{ABCD}=h^2.$$
Ответ: $$h^2$$.
