Упр.519 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AC \perp BD$$, $$BH=h$$ — высота.

Проведём через точку $$B$$ прямую, параллельную $$AC$$, и через точку $$D$$ — прямую, перпендикулярную $$BF$$. Обозначим точку их пересечения через $$F$$. Тогда $$BHFD$$ — прямоугольник.

Так как $$AC \parallel HF$$ и $$AB=CD$$, а также $$AD$$ — общая сторона, то $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $$AC=BD$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$BHDF$$. Имеем $$BH \perp HD$$ и $$DF \perp BF$$, значит $$BHDF$$ — прямоугольник. Кроме того, из построения $$BD=HF$$. Тогда, поскольку диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, получаем, что $$BHDF$$ — квадрат. Следовательно,

$$S_{BHDF}=BH^2=h^2.$$

Но площадь трапеции равна площади этого квадрата, значит

$$S_{ABCD}=h^2.$$

Ответ: $$h^2$$.