Упр.518 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:
а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°;
б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

а) Обозначим меньшее основание трапеции через $$BC=18\text{ см}$$, высоту через $$BH=9\text{ см}$$, острый угол при основании — $$\angle A=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Так как $$\angle A=45^\circ$$, то

$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

значит, треугольник $$ABH$$ равнобедренный, и потому

$$AH=BH=9\text{ см}.$$

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, следовательно, $$AB=CD$$, а углы при основании равны: $$\angle A=\angle D$$. Тогда прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$ равны, откуда

$$FD=AH=9\text{ см}.$$

Большое основание:

$$AD=AH+HF+FD=9+18+9=36\text{ см}.$$

Тогда площадь трапеции равна

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{36+18}{2}\cdot 9=243\text{ см}^2.$$

б) Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$.

Из равенства треугольников $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$ следует, что диагонали равны:

$$AC=BD.$$

По условию $$AC\perp BD$$, значит, треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$ прямоугольные.

Обозначим $$BO=OC=x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BOC$$:

$$BC^2=BO^2+OC^2= x^2+x^2=2x^2,$$

$$16^2=2x^2 \Rightarrow 256=2x^2 \Rightarrow x^2=128 \Rightarrow x=8\sqrt2.$$