Упр.516 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.
2. В треугольнике $$ABC$$ $$BC=34$$ см. Перпендикуляр $$MN$$, проведённый из середины $$BC$$ к прямой $$AC$$, делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AN=25$$ см и $$NC=15$$ см. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра $$BH$$, опущенного из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$\triangle BHC$$ прямоугольный, а точка $$M$$ — середина $$BC$$, причём $$MN \perp AC$$.

Так как в прямоугольном треугольнике отрезок, соединяющий середину гипотенузы с основанием перпендикуляра к катету, равен половине этого катета, то

$$HN=NC=15\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=AN+NC=25+15=40\text{ см}.$$

Кроме того,

$$HC=HN+NC=15+15=30\text{ см}.$$

Найдём высоту $$BH$$ из прямоугольного треугольника $$BHC$$:

$$BH^2=BC^2-HC^2$$

$$BH^2=34^2-30^2=1156-900=256,$$

значит,

$$BH=16\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 40\cdot 16=320\text{ см}^2.$$

Ответ: $$320\text{ см}^2$$.