Упр.515 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна $$20\text{ см}$$, а угол при основании равен $$30^\circ$$; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна $$6\text{ см}$$ и образует с основанием угол в $$45^\circ$$.

Пусть $$BM$$ — высота равнобедренного треугольника $$ABC$$, проведённая к основанию $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$BM$$ является также медианой, то есть $$AM=MC$$.

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. В нём $$\angle A=30^\circ$$, $$AB=20$$ см, поэтому

$$BM=AB\sin 30^\circ=20\cdot \frac12=10\text{ см}.$$

Найдём $$AM$$:

$$AM=AB\cos 30^\circ=20\cdot \frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\text{ см}.$$

Так как $$AM=MC$$, то

$$AC=AM+MC=2AM=20\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда площадь треугольника

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 20\sqrt3\cdot 10=100\sqrt3\text{ см}^2.$$

б)

Пусть $$AH=6$$ см — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, и $$\angle HAC=45^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$. Тогда

$$\angle C=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

значит, треугольник $$AHC$$ равнобедренный, и

$$HC=AH=6\text{ см}.$$

По теореме Пифагора:

$$AC^2=AH^2+HC^2=6^2+6^2=72,$$

откуда

$$AC=6\sqrt2\text{ см}.$$

Так как $$\angle C=45^\circ$$ и $$BC=AB$$, то $$\angle A=45^\circ$$, следовательно, $$\angle B=90^\circ$$. Значит, $$AH$$ совпадает с $$AB$$, и потому

$$AB=AH=6\text{ см}.$$

Теперь площадь треугольника

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot 6\cdot 6=18\text{ см}^2.$$

Ответ: а) $$100\sqrt3\text{ см}^2$$; б) $$18\text{ см}^2$$.