Упр.514 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$, катетом $$AC=12\ \text{см}$$ и квадрат $$CDEF$$, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина $$E$$ — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
Задание учебника 2023 года. Площадь ромба равна $$540\ \text{см}^2$$, а одна из его диагоналей равна $$4{,}5\ \text{дм}$$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Подробный ответ

Пусть сторона квадрата равна $$x$$.

Так как $$\triangle ABC$$ — равнобедренный прямоугольный, то $$AC=CB=12$$ см, а $$\angle A=\angle B=45^\circ$$.

В квадрате $$CDEF$$ имеем $$CD=CF=DE=EF=x$$.

Рассмотрим треугольник $$ADE$$. Угол $$\angle DAE$$ равен $$45^\circ$$, потому что $$AD \subset AC$$, а точка $$E$$ лежит на гипотенузе $$AB$$, значит $$\angle DAE=\angle A=45^\circ$$. Кроме того, $$\angle ADE=90^\circ$$, так как стороны квадрата перпендикулярны. Следовательно, $$\triangle ADE$$ — равнобедренный, и $$AD=DE=x$$.

Тогда

$$AC=AD+DC=x+x=2x.$$

Но $$AC=12$$ см, значит

$$2x=12,\qquad x=6.$$

Периметр квадрата:

$$P_{CDEF}=4x=4\cdot 6=24\text{ см}.$$

Ответ: $$24$$ см.