Упр.511 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
2. В трапеции $$ABCD$$ с боковыми сторонами $$AB$$ и $$CD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$.
   
   а) Сравните площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$.
   
   б) Сравните площади треугольников $$ABO$$ и $$CDO$$.
   
   в) Докажите, что выполняется равенство $$OA \times OB = OC \times OD$$.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AB \parallel CD$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Ход решения

а) Опустим высоты из точек $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$. Пусть их основания — точки $$H$$ и $$F$$ соответственно. Тогда $$BH = CF$$, так как обе эти отрезки равны высоте трапеции.

Площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$ выражаются так:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot BH,$$
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot CF.$$

Так как $$BH=CF$$, то

$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$

б) Треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ можно получить из треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$ вычитанием равных площадей $$AOD$$:

$$S_{ABO}=S_{ABD}-S_{AOD},$$
$$S_{CDO}=S_{ACD}-S_{AOD}.$$

Поскольку из пункта а известно, что $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, получаем

$$S_{ABO}=S_{CDO}.$$

в) Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них

$$\angle BOA=\angle COD$$

как вертикальные углы.

Тогда по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S_{BOA}=\frac{1}{2}\,BO\cdot OA\cdot \sin \angle BOA,$$
$$S_{COD}=\frac{1}{2}\,OC\cdot OD\cdot \sin \angle COD.$$

Так как $$\angle BOA=\angle COD$$, то

$$\frac{S_{BOA}}{S_{COD}}=\frac{BO\cdot OA}{OC\cdot OD}.$$

Но из пункта б имеем $$S_{ABO}=S_{CDO}$$, значит и $$S_{BOA}=S_{COD}$$. Следовательно,

$$\frac{BO\cdot OA}{OC\cdot OD}=1,$$
то есть

$$OA\cdot OB=OC\cdot OD.$$

Ответ

а) $$S_{ABD}=S_{ACD}$$; б) $$S_{ABO}=S_{CDO}$$; в) $$OA\cdot OB=OC\cdot OD$$.