Упр.510 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
- Через точку $$D$$, лежащую на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$E$$ и $$F$$. Докажите, что треугольники $$CDE$$ и $$BDF$$ равновеликие.
а) Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и $$BD \perp AC$$.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам:
$$BO=OD,\qquad AO=OC.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle COD$$. У них:
- $$AO=OC$$;
- $$BO=OD$$;
- $$\angle AOB=\angle COD=90^\circ$$, так как $$BD \perp AC$$.
Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AB=CD.$$
Но в параллелограмме противоположные стороны равны, значит
$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$
Из равенства треугольников также получаем, что соседние стороны параллелограмма равны, то есть
$$AB=BC.$$
Следовательно, все стороны параллелограмма равны, значит $$ABCD$$ — ромб.
б) Пусть диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам, то есть $$\angle BAC=\angle CAD$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle BAC$$ и $$\triangle CAD$$. У них:
- $$\angle BAC=\angle CAD$$;
- $$AC$$ — общая сторона;
- $$AB \parallel CD$$, так как $$ABCD$$ — параллелограмм, поэтому $$\angle BCA=\angle ACD$$.
Значит, $$\triangle BAC \cong \triangle CAD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда
$$AB=AD.$$
Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$AD=BC$$, следовательно
$$AB=BC=CD=AD.$$
Итак, все стороны параллелограмма равны, значит $$ABCD$$ — ромб.
Ответ
а) $$ABCD$$ — ромб; б) $$ABCD$$ — ромб.
