Упр.509 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а точка $$P$$ лежит внутри него. Обозначим расстояния от точки $$P$$ до сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ через $$x$$, $$y$$ и $$z$$ соответственно.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить как сумму площадей трёх треугольников:

$$S_{ABC}=S_{PAB}+S_{PBC}+S_{PCA}.$$

С другой стороны, если $$h$$ — высота равностороннего треугольника, то

$$S_{ABC}=\frac12 ah,$$

где $$a$$ — сторона треугольника.

Площади трёх малых треугольников равны:

$$S_{PAB}=\frac12 ax,\qquad S_{PBC}=\frac12 ay,\qquad S_{PCA}=\frac12 az.$$

Тогда

$$\frac12 ah=\frac12 ax+\frac12 ay+\frac12 az.$$

Сократим на $$\frac12 a$$:

$$h=x+y+z.$$

Правая часть не зависит от положения точки $$P$$, значит сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника.