Упр.509 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $$45^\circ$$.
2. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$\angle A=45^\circ$$. В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle B=\angle D=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Поэтому диагональ $$BD$$ делит угол $$B$$ пополам, а диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам.

Тогда

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{135^\circ}{2}=67^\circ30’$$

и

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{45^\circ}{2}=22^\circ30′.$$

Ответ

$$\angle ABD=67^\circ30′,\quad \angle BAC=22^\circ30′.$$