Упр.507 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
2. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а его диагонали пересекаются в точке $$O$$.

Из условия $$AB=BD$$. Но в ромбе все стороны равны, значит

$$AB=BC=CD=DA,$$

следовательно, $$AB=BD=AD$$ и треугольник $$ABD$$ равносторонний. Тогда

$$\angle ADB=\angle ABD=\angle BAD=60^\circ.$$

Аналогично треугольник $$CBD$$ тоже равносторонний, поэтому

$$\angle CDB=\angle CBD=\angle BCD=60^\circ.$$

Теперь найдём углы ромба:

$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=60^\circ+60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle D=\angle ADB+\angle BDC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

Так как в ромбе противоположные углы равны, то

$$\angle A=\angle C=60^\circ.$$

Диагональ ромба делит его угол пополам, значит

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ,$$

а также

$$\angle ABD=60^\circ.$$

Ответ: $$\angle A=\angle C=60^\circ,$$ $$\angle B=\angle D=120^\circ,$$ $$\angle ABD=60^\circ,$$ $$\angle BAC=30^\circ.$$