Упр.505 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольники $$AOD$$ и $$AOB$$ равнобедренные.
2. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна $$a$$, а другая — $$b$$, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому в прямоугольнике $$ABCD$$ имеем:

$$AC=BD$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Тогда

$$AO=OC,\qquad BO=OD$$

Так как $$AC=BD$$, а каждая диагональ делится точкой $$O$$ пополам, то

$$AO=\frac{AC}{2},\qquad BO=\frac{BD}{2}$$

Следовательно, из равенства диагоналей получаем

$$AO=BO$$

Аналогично

$$AO=OD$$

Значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$AO=BO$$, и треугольник $$AOD$$ равнобедренный, так как $$AO=OD$$.

Ответ

$$\triangle AOB$$ и $$\triangle AOD$$ равнобедренные.