Упр.505 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

1) В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит,

$$AC=BD,$$

а так как $$O$$ — точка пересечения диагоналей, то

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Из равенства диагоналей следует, что их половины равны:

$$AO=BO,\qquad OC=OD.$$

Следовательно, в треугольнике $$AOD$$ стороны $$AO$$ и $$OD$$ равны, значит, $$\triangle AOD$$ равнобедренный. Аналогично, в треугольнике $$AOB$$ стороны $$AO$$ и $$BO$$ равны, значит, $$\triangle AOB$$ равнобедренный.

2) Пусть в треугольнике две стороны равны $$a$$ и $$b$$, а угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда его площадь равна

$$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha.$$

Так как $$\sin\alpha\le 1$$, то

$$S\le \frac{1}{2}ab.$$

Равенство достигается при $$\sin\alpha=1$$, то есть при $$\alpha=90^\circ$$. Значит, наибольшую площадь имеет треугольник, у которого стороны $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны.

Ответ

$$\triangle AOD$$ и $$\triangle AOB$$ равнобедренные; наибольшую площадь имеет треугольник с перпендикулярными сторонами $$a$$ и $$b$$, и она равна $$\frac{1}{2}ab$$.