Упр.504 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Найдите периметр прямоугольника $$ABCD$$, если биссектриса угла $$A$$ делит сторону:
а) $$BC$$ на отрезки $$45{,}6\ \text{см}$$ и $$7{,}85\ \text{см}$$;
б) $$DC$$ на отрезки $$2{,}7\ \text{дм}$$ и $$4{,}5\ \text{дм}$$. - Задание учебника 2023 года. Меньшая сторона параллелограмма равна $$29\ \text{см}$$. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные $$33\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$E$$ — точка её пересечения со стороной прямоугольника.
а)
Так как $$E$$ лежит на стороне $$BC$$, то
$$BC=BE+EC=45{,}6+7{,}85=53{,}45\text{ см}.$$
В прямоугольнике $$AD \parallel BC$$, значит $$AD=BC=53{,}45$$ см.
Рассмотрим треугольник $$ABE$$. Углы $$\angle BEA \text{ и } \angle EAD$$ равны как накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$ и секущей $$AE$$.
Так как $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAE=\angle EAD.$$
Следовательно, $$\angle BAE=\angle BEA,$$ значит, треугольник $$ABE$$ равнобедренный, и потому
$$AB=BE=45{,}6\text{ см}.$$
Тогда периметр прямоугольника:
$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(45{,}6+53{,}45)=198{,}1\text{ см}.$$
б)
Здесь $$E$$ лежит на стороне $$DC$$, поэтому
$$DC=CE+ED=2{,}7+4{,}5=7{,}2\text{ дм}.$$
В прямоугольнике $$AB=DC$$, значит $$AB=7{,}2\text{ дм}.$$
Рассмотрим треугольник $$ADE$$. Углы $$\angle AED \text{ и } \angle EAB$$ равны как накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$ и секущей $$AE$$.
Так как $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle EAB=\angle DAE.$$
Следовательно, $$\angle DAE=\angle AED,$$ значит, треугольник $$ADE$$ равнобедренный, и потому
$$AD=ED=4{,}5\text{ дм}.$$
Тогда
$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(7{,}2+4{,}5)=23{,}4\text{ дм}.$$
Ответ
а) $$198{,}1$$ см; б) $$23{,}4$$ дм.
