Упр.503 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см2, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см.

Если в четырёхугольнике все углы прямые, то соседние углы в сумме дают $$90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$ Значит, противоположные стороны попарно параллельны: $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD.$$ Следовательно, данный четырёхугольник — параллелограмм. Так как у него все углы прямые, то это прямоугольник.

Найдём периметр параллелограмма.

Пусть точка пересечения диагоналей удалена от сторон $$AD$$ и $$BC$$ на $$2$$ см, а от сторон $$AB$$ и $$CD$$ на $$3$$ см. Тогда расстояние между параллельными сторонами:

$$h_1=2+2=4\text{ см}, \qquad h_2=3+3=6\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на соответствующую высоту:

$$S=AD\cdot h_1,$$
$$24=AD\cdot 4,$$
$$AD=6\text{ см}.$$

Аналогично:

$$S=AB\cdot h_2,$$
$$24=AB\cdot 6,$$
$$AB=4\text{ см}.$$

Тогда периметр:

$$P=2(AB+AD)=2(4+6)=20\text{ см}.$$

Ответ

$$20\text{ см}$$