Упр.503 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.
- Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна $$24\ \text{см}^2$$, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на $$2\ \text{см}$$ и $$3\ \text{см}$$.
Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Проведём через $$O$$ перпендикуляры к сторонам $$AD$$ и $$AB$$, их основания обозначим $$H$$ и $$E$$ соответственно. Тогда расстояния от точки $$O$$ до сторон равны $$OH=2\text{ см},\qquad OE=3\text{ см}.$$
Так как точка $$O$$ — центр симметрии параллелограмма, то расстояния от неё до противоположных сторон равны. Значит, расстояние между параллельными сторонами:
$$HH_1=2\cdot OH=4\text{ см},\qquad EE_1=2\cdot OE=6\text{ см}.$$
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на соответствующую высоту, поэтому
$$S=AD\cdot HH_1=24,$$
откуда
$$AD=\frac{24}{4}=6\text{ см}.$$
Аналогично
$$S=AB\cdot EE_1=24,$$
следовательно,
$$AB=\frac{24}{6}=4\text{ см}.$$
Тогда периметр параллелограмма:
$$P=2(AB+AD)=2(4+6)=20\text{ см}.$$
Ответ: $$20$$ см.
