Упр.502 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.
2. Высоты параллелограмма равны $$5\ \text{см}$$ и $$4\ \text{см}$$, а периметр равен $$42\ \text{см}$$. Найдите площадь параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма через $$AB$$ и $$AD$$. Тогда его периметр равен

$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=42,$$

откуда

$$AB+AD=21.$$

Площадь параллелограмма можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту:

$$S=AD\cdot BH=AB\cdot BF,$$

где $$BH=4\text{ см}$$ и $$BF=5\text{ см}.$$

Тогда

$$4\cdot AD=5\cdot AB.$$

Подставим $$AB=21-AD$$:

$$4AD=5(21-AD),$$

$$4AD=105-5AD,$$

$$9AD=105,$$

$$AD=\frac{105}{9}=11\frac{2}{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S=BH\cdot AD=4\cdot 11\frac{2}{3}=46\frac{2}{3}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$46\frac{2}{3}\text{ см}^2$$.