Упр.500 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Постройте равнобедренную трапецию $$ABCD$$: а) по основанию $$AD$$, углу $$A$$ и боковой стороне $$AB$$; б) по основанию $$BC$$, боковой стороне $$AB$$ и диагонали $$BD$$.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.
Пусть сторона равнобедренного прямоугольного треугольника равна $$a$$. Тогда его катеты равны $$a$$, а гипотенуза равна $$a\sqrt{2}$$.
Обозначим через $$h$$ высоту, проведённую к гипотенузе. Для прямоугольного треугольника верно:
$$h=\frac{ab}{c},$$
где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. В нашем случае
$$h=\frac{a\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Тогда площадь квадрата, построенного на катете, равна
$$S_1=a^2,$$
а площадь квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе, равна
$$S_2=h^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{a^2}{2}.$$
Следовательно,
$$S_1=2S_2.$$
Значит, площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.
Ответ
$$S_{\text{на катете}}=2S_{\text{на высоте к гипотенузе}}.$$
