Упр.497 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
2. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен $$50\ \text{см}$$, а разность смежных сторон равна $$1\ \text{см}$$.

Пусть стороны параллелограмма равны $$AB$$ и $$AD$$, причём $$AB>AD$$. Тогда по условию

$$P_{ABCD}=50\text{ см},$$

значит

$$2(AB+AD)=50,$$

$$AB+AD=25.$$

Разность смежных сторон равна $$1$$ см, поэтому

$$AB-AD=1.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} AB+AD=25,\\ AB-AD=1. \end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем

$$2AB=26,\quad AB=13.$$

Тогда

$$AD=25-13=12.$$

По условию одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Значит, эта диагональ перпендикулярна одной из сторон. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $$13$$ см, а один катет равен $$12$$ см. Тогда искомая диагональ:

$$d=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.