Упр.495 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7 см, а = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, а = 45°. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ=10см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) угол C = угол D=60°, АВ = ВС = 8 см; в) угол C = угол D = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9корень2 см.
а) Пусть из вершины $B$ опущена высота $BH$ на основание $AD$.
Так как трапеция равнобедренная, то $BC=AD$. Тогда
$$AH=AD-BC=7-4=3\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $ABH$:
$$\angle ABH=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
Значит, в треугольнике $ABH$ катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$$AB=2AH=2\cdot 3=6\text{ см}.$$
б) Аналогично, $BC=AD$, поэтому
$$AH=AD-BC=15-10=5\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $ABH$:
$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Следовательно, треугольник $ABH$ равнобедренный, и
$$BH=AH=5\text{ см}.$$
Так как $BCHD$ — прямоугольник, то
$$CD=BH=5\text{ см}.$$
в) Пусть из вершин $A$ и $B$ опущены высоты на основание $CD$, а их основания — $H$ и $F$.
Так как $\angle C=\angle D=45^\circ$, то трапеция равнобедренная, значит
$$AD=BC=9\sqrt2\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $DAH$ угол при $D$ равен $45^\circ$, значит треугольник $DAH$ равнобедренный, и
$$AH=DH.$$
По теореме Пифагора:
$$AD^2=AH^2+DH^2=2AH^2,$$
$$\left(9\sqrt2\right)^2=2AH^2,$$
$$162=2AH^2,$$
$$AH=9\text{ см}.$$
Тогда
$$DC=DH+HF+FC=9+6+9=24\text{ см}.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AH=\frac{1}{2}(6+24)\cdot 9=135\text{ см}^2.$$
Ответ
а) $$6\text{ см}$$; б) $$5\text{ см}$$; в) $$135\text{ см}^2$$.
