Упр.492 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
2. Задание учебника 2023 года. Найдите высоты треугольника со сторонами $$10\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$.

Рассмотрим оба случая.

1. Если углы при основании равны.

   Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а $$\angle A=\angle D$$. Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на прямую $$AD$$:

   $$BB_1\perp AD,\quad CC_1\perp AD.$$

   Тогда $$BB_1=CC_1$$ как высоты трапеции.

   Так как $$BC\parallel AD$$, то четырехугольник $$BCC_1B_1$$ — прямоугольник, значит

   $$\angle ABB_1=\angle B-\!90^\circ,\qquad \angle DCC_1=\angle C-\!90^\circ.$$

   Из условия $$\angle B=\angle C$$, следовательно, $$\angle ABB_1=\angle DCC_1$$.

   В прямоугольных треугольниках $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$ равны катеты $$BB_1=CC_1$$ и равны острые углы при вершинах $$B$$ и $$C$$, значит, эти треугольники равны. Тогда

   $$AB=CD.$$

   Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

2. Если диагонали трапеции равны.

   Пусть $$AC=BD$$. Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на прямую $$AD$$:

   $$BB_1\perp AD,\quad CC_1\perp AD.$$

   Тогда $$BB_1=CC_1$$ как высоты.

   Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ACC_1$$ и $$\triangle DBB_1$$. У них

   $$CC_1=BB_1,$$

   а гипотенузы равны по условию:

   $$AC=BD.$$

   Значит, $$\triangle ACC_1\cong \triangle DBB_1$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

   $$AC_1=DB_1.$$

   Теперь

   $$AC_1=AB_1+B_1C_1,\qquad DB_1=DC_1+B_1C_1.$$

   Из равенства $$AC_1=DB_1$$ получаем

   $$AB_1=DC_1.$$

   Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$. У них

   $$BB_1=CC_1,\qquad AB_1=DC_1.$$

   Следовательно, $$\triangle ABB_1\cong \triangle DCC_1$$ по двум катетам, значит

   $$AB=CD.$$

   Итак, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.