Упр.491 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.
2. По данным катетам $$a$$ и $$b$$ прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) $$a=5$$, $$b=12$$; б) $$a=12$$, $$b=16$$.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, то есть $$AB=CD$$ и $$BC \parallel AD$$.

а) Докажем, что углы при каждом основании равны

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$.

Тогда $$AB \parallel CE$$ и $$AE \parallel BC$$, значит, четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$AB=CE.$$

Но по условию $$AB=CD$$, значит, $$CE=CD$$. Поэтому треугольник $$CED$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle CED=\angle EDC.$$

Так как $$AB \parallel CE$$, а $$AD$$ — секущая, то

$$\angle A=\angle CED.$$

Так как точки $$E$$ и $$D$$ лежат на прямой $$AD$$, то

$$\angle EDC=\angle D.$$

Следовательно,

$$\angle A=\angle D.$$

Теперь рассмотрим углы при основании $$BC$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то при секущей $$AB$$ имеем

$$\angle A+\angle B=180^\circ,$$

а при секущей $$CD$$:

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Из равенства $$\angle A=\angle D$$ получаем $$\angle B=\angle C$$.

Итак, углы при каждом основании равны:

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

б) Докажем, что диагонали равны

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CDA$$.

Имеем:

$$AD$$ — общая сторона,

$$AB=CD$$ — по условию,

$$\angle BAD=\angle CDA$$ — как углы при основании равнобедренной трапеции.

Значит, $$\triangle ABD \cong \triangle CDA$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:

$$BD=AC.$$

Следовательно, диагонали равнобедренной трапеции равны.