Упр.490 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите углы $$B$$ и $$D$$ трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, если $$\angle A=36^\circ$$, $$\angle C=117^\circ$$.
- Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если:
а) основание равно $$12\ \text{см}$$, а высота, проведённая к основанию, равна $$8\ \text{см}$$;
б) основание равно $$18\ \text{см}$$, а угол, противолежащий основанию, равен $$120^\circ$$;
в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна $$7\ \text{см}$$.
Рассмотрим высоту $$BH$$, проведённую к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой и биссектрисой.
а)
$$AC=12\text{ см},\quad BH=8\text{ см}.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$
Так как $$AH=HC=\frac{AC}{2}=6\text{ см},$$ то в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$AB^2=AH^2+BH^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
откуда
$$AB=10\text{ см}.$$
б)
$$AC=18\text{ см},\quad \angle B=120^\circ.$$
Так как треугольник равнобедренный, то
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$
Высота $$BH$$ делит основание пополам, значит
$$AH=HC=\frac{18}{2}=9\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$\angle ABH=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ,\quad \angle A=30^\circ,$$
поэтому это треугольник $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$, и
$$BH=\frac{AB}{2}.$$
Тогда по теореме Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2=9^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2,$$
$$AB^2=81+\frac{AB^2}{4},$$
$$\frac{3}{4}AB^2=81,$$
$$AB^2=108,$$
$$AB=6\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 18\cdot 3\sqrt3=27\sqrt3\text{ см}^2.$$
в)
$$\angle B=90^\circ,\quad BH=7\text{ см}.$$
В равнобедренном треугольнике при вершине $$B$$ углы при основании равны, значит
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$
Высота $$BH$$ является также биссектрисой, поэтому
$$\angle ABH=45^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$ABH$$ равнобедренный, и
$$AH=BH=7\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=AH+HC=2\cdot 7=14\text{ см}.$$
Площадь:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 14\cdot 7=49\text{ см}^2.$$
Найдём боковую сторону:
$$AB^2=AH^2+BH^2=7^2+7^2=98,$$
$$AB=7\sqrt2\text{ см}.$$
Ответ
а) $$AB=10\text{ см},\quad S_{ABC}=48\text{ см}^2$$; б) $$AB=6\sqrt3\text{ см},\quad S_{ABC}=27\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$AB=7\sqrt2\text{ см},\quad S_{ABC}=49\text{ см}^2$$.
