Упр.490 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если угол A = 36°, угол C= 117°. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.
1) В трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Тогда прямая $$AB$$ — секущая, поэтому односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:
$$\angle A+\angle B=180^\circ,$$
откуда
$$\angle B=180^\circ-36^\circ=144^\circ.$$
Аналогично, прямая $$CD$$ — секущая, значит
$$\angle C+\angle D=180^\circ,$$
следовательно
$$\angle D=180^\circ-117^\circ=63^\circ.$$
2) Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$BH$$ — высота к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.
а) $$AC=12$$ см, $$BH=8$$ см.
Тогда $$AH=HC=\dfrac{AC}{2}=6$$ см.
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$AB^2=AH^2+BH^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
$$AB=10$$ см.
Площадь:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$
б) $$AC=18$$ см, $$\angle B=120^\circ$$.
Так как треугольник равнобедренный, то
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$
Поскольку $$BH$$ — биссектриса, то
$$\angle ABH=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ получаем
$$\angle A=30^\circ,$$
значит, сторона, лежащая напротив угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы:
$$BH=\frac{AB}{2}.$$
Пусть $$AB=a$$. Тогда
$$AH=\frac{AC}{2}=9,$$
и по теореме Пифагора:
$$a^2=AH^2+BH^2=9^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2,$$
$$a^2=81+\frac{a^2}{4},$$
$$\frac{3a^2}{4}=81,$$
$$a^2=108,$$
$$a=6\sqrt{3}\text{ см}.$$
Тогда
$$BH=\frac{a}{2}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$
Площадь:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\text{ см}^2.$$
в) Треугольник прямоугольный, $$\angle B=90^\circ$$, $$BH=7$$ см.
В равнобедренном треугольнике острые углы равны, значит
$$\angle A=\angle C.$$
Так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, то
$$\angle A+\angle C=180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$
следовательно
$$\angle A=\angle C=45^\circ.$$
Высота $$BH$$ к основанию $$AC$$ является также медианой, поэтому
$$AH=HC=7\text{ см},$$
а значит
$$AC=AH+HC=14\text{ см}.$$
Площадь:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 7=49\text{ см}^2.$$
Найдём боковую сторону:
$$AB^2=AH^2+BH^2=7^2+7^2=98,$$
$$AB=7\sqrt{2}\text{ см}.$$
Ответ
$$\angle B=144^\circ,\ \angle D=63^\circ.$$
а) $$AB=10\text{ см},\ S_{ABC}=48\text{ см}^2$$;
б) $$AB=6\sqrt{3}\text{ см},\ S_{ABC}=27\sqrt{3}\text{ см}^2$$;
в) $$AB=7\sqrt{2}\text{ см},\ S_{ABC}=49\text{ см}^2$$.
