Упр.488 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Решение Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки A1A2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3. Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и 12 параллельны (рис. 165, а). Тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов A1B1B2A2 и А2В2В3А3. Так как А1А2 — А2А3, то и В1В2 = В2В3. Если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведём прямую l, параллельную прямой l1 (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D. Так как A1A2 = А2А3, то по доказанному B1C = CD. Отсюда получаем: В1В2 = В2В3 (задача 384). Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

Подробный ответ

Обозначим высоту равностороннего треугольника $$BH$$.

а) В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому $$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора:

$$BH^2=AB^2-AH^2$$

$$BH^2=6^2-3^2=36-9=27$$

$$BH=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}$$

б) Пусть $$AH=HC=x$$. Тогда сторона равностороннего треугольника

$$AB=BC=AC=2x$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$ (2x)^2=x^2+4^2 $$