Упр.488 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
2. Найдите:
   а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна $$6\text{ см}$$;
   б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна $$4\text{ см}$$.

Пусть на прямой $$l_1$$ отложены равные отрезки $$A_1A_2,\ A_2A_3,\ A_3A_4,\dots$$ и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие прямую $$l_2$$ в точках $$B_1,\ B_2,\ B_3,\ B_4,\dots$$. Докажем, что

$$B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=\dots$$

Достаточно доказать, что $$B_1B_2=B_2B_3$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$l_1 \parallel l_2$$, то четырёхугольники $$A_1B_1B_2A_2$$ и $$A_2B_2B_3A_3$$ — параллелограммы. Поэтому

   $$A_1A_2=B_1B_2,\qquad A_2A_3=B_2B_3.$$

   Так как по условию $$A_1A_2=A_2A_3$$, то и $$B_1B_2=B_2B_3$$.

2. Если $$l_1$$ и $$l_2$$ не параллельны, проведём через точку $$B_1$$ прямую $$l$$, параллельную $$l_1$$. Она пересечёт прямые $$A_2B_2$$ и $$A_3B_3$$ в точках $$C$$ и $$D$$.

   Тогда по уже доказанному для параллельных прямых получаем

   $$B_1C=CD.$$

   Но отрезки $$B_1C$$ и $$CD$$ соответствуют равным отрезкам $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$, значит, по теореме Фалеса

   $$B_1B_2=B_2B_3.$$

Следовательно, все отрезки, отсекаемые на прямой $$l_2$$ параллельными прямыми, равны между собой.