Упр.486 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
AE=BE; BF=FC;
CG=GD; AH=HD;
Доказать:
EFGH-паралл;
Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABD:
AE=BE, AH=DH;
EH || BD, EH=1/2 BD;
2) Рассмотрим треугольник BCD:
CF=BF, CG=GD;
FG || BD, FG=1/2 BD;
3) Четырехугольник EFGH:
EH || FG, EH=1/2 BD=FG;
EFGH-параллелограмм;
Что и требовалось доказать. В прямоугольнике ABCD найдите: а) AD, если АВ = 5, АС =13; б) ВС, если CD= 1,5, АС = 2,5; в) CD, если BD= 17, ВС= 15.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Точки $$E$$ и $$H$$ — середины его сторон, так как $$AE=BE$$ и $$AH=HD$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника

$$EH \parallel BD,\qquad EH=\frac{1}{2}BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCD$$. Точки $$F$$ и $$G$$ — середины его сторон, так как $$BF=FC$$ и $$CG=GD$$. Следовательно,

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac{1}{2}BD.$$

Получаем, что $$EH \parallel FG$$ и одновременно $$EH=FG$$. Значит, в четырёхугольнике $$EFGH$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$EFGH$$ — параллелограмм.