Упр.486 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
2. В прямоугольнике $$ABCD$$ найдите: а) $$AD$$, если $$AB=5$$, $$AC=13$$; б) $$BC$$, если $$CD=1{,}5$$, $$AC=2{,}5$$; в) $$CD$$, если $$BD=17$$, $$BC=15$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$ и его стороны. По условию $$E$$, $$F$$, $$G$$, $$H$$ — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$AD$$ соответственно.

1) В треугольнике $$ABD$$ точки $$E$$ и $$H$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника

$$EH \parallel BD,\qquad EH=\frac{1}{2}BD.$$

2) В треугольнике $$BCD$$ точки $$F$$ и $$G$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$. Следовательно,

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac{1}{2}BD.$$

3) Получаем, что

$$EH \parallel FG$$

и

$$EH=FG.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.