Упр.485 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите признак средней линии треугольника. Через середину $$M$$ стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная стороне $$BC$$. Эта прямая пересекает сторону $$AC$$ в точке $$N$$. Докажите, что $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$.
- Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла $$60^\circ$$, если гипотенуза равна $$c$$.
Пусть через середину $$M$$ стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая $$MN$$, параллельная стороне $$BC$$, и она пересекает сторону $$AC$$ в точке $$N$$.
Проведём через точку $$N$$ прямую $$ND$$, параллельную стороне $$AB$$, и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением прямой $$MN$$ через $$D$$.
Тогда четырёхугольник $$AMDB$$ — параллелограмм, так как $$AM \parallel DB$$ и $$AB \parallel MD$$. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит
$$CD=BM.$$
Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то
$$AM=BM.$$
Следовательно,
$$CD=AM.$$
Рассмотрим треугольники $$AMN$$ и $$CDN$$. У них:
- $$\angle AMN=\angle CDN$$ как накрест лежащие при $$MN \parallel CD$$ и $$AM \parallel DN$$;
- $$\angle ANM=\angle CND$$ как вертикальные;
- $$AM=CD.$$
Значит, $$\triangle AMN \cong \triangle CDN$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда
$$AN=CN.$$
Так как точка $$N$$ лежит на стороне $$AC$$ и $$AN=CN$$, то $$N$$ — середина стороны $$AC$$.
Итак, $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, а $$MN \parallel BC$$. Следовательно, $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$.
Ответ
$$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$.
