Упр.484 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
В прямоугольном треугольнике $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Найдите $$b$$, если:
а) $$a=12$$, $$c=13$$;
б) $$a=7$$, $$c=9$$;
в) $$a=12$$, $$c=2b$$;
г) $$a=2\sqrt{3}$$, $$c=2b$$;
д) $$a=3b$$, $$c=2\sqrt{10}$$.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, то есть $$AM=MC$$ и $$BN=CN$$. Докажем, что $$MN \parallel AB$$ и $$MN=\frac12 AB$$.

Проведём через точку $$N$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$, и обозначим через $$D$$ точку её пересечения с продолжением прямой $$MN$$. Тогда $$D \in MN$$.

Рассмотрим треугольники $$CMN$$ и $$DBN$$.

Так как $$CN=BN$$ по условию, $$MN=ND$$ по построению, а углы $$\angle CNM$$ и $$\angle DNB$$ равны как вертикальные, то

$$\triangle CMN \cong \triangle DBN$$

по двум сторонам и углу между ними. Отсюда получаем:

$$CM=DB,$$

$$\angle CMN=\angle BDN.$$

Следовательно, $$CM \parallel BD$$, так как равны накрест лежащие углы при секущей $$MD$$.

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$AMDB$$. В нём

$$AM=CM=DB,$$

и при этом $$AM \parallel BD$$. Значит, $$AMDB$$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма получаем:

$$MD \parallel AB,$$