Упр.484 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
AM=MC;
BN=CN;
Доказать:
MN=1/2 AB;
MN || AB;
Решение:
1) Отметим точку:
D принадлежит MN, DN=MN;
2) По первому признаку:
угол CNM=угол DNB, MN=ND;
CN=NB, треугольник CMN=треугольник DBN;
угол BDN=угол CMN, CM=DB;
3) Накрест лежащие углы:
угол CMD=угол BDM, CM || BD;
4) Четырехугольник AMDB:
BD=CM=AM, BD || AM;
AMDB-параллелограмм;
MD || AB, MD=AB, N принадлежит MD;
MN || AB, MN=1/2 MD=1/2 AB;
Что и требовалось доказать. В прямоугольном треугольнике а и 6 — катеты, с — гипотенуза. Найдите 6, если: а) а = 12, с = 13; б) а = 7, с=9; в) а = 12, с = 2b; г) а = 2корень3, с = 2b; д) а = 3b, с = 2корень10.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, то есть $$AM=MC$$ и $$BN=CN$$.

Проведём через точку $$N$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$, и отметим на ней точку $$D$$ так, чтобы $$DN=MN$$.

Рассмотрим треугольники $$CMN$$ и $$DBN$$. Имеем:

$$CN=NB$$ — по условию,
$$MN=ND$$ — по построению,
$$\angle CNM=\angle DNB$$ — как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle CMN \cong \triangle DBN$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$CM=DB,$$
$$\angle CMN=\angle BDN.$$

Из равенства этих углов следует, что $$CM \parallel BD$$.

Теперь в четырёхугольнике $$AMDB$$ противоположные стороны попарно равны и параллельны:

$$AM=BD,$$
$$AM \parallel BD.$$

Значит, $$AMDB$$ — параллелограмм. Поэтому

$$MD \parallel AB,$$
$$MD=AB.$$

Так как точки $$M$$, $$N$$, $$D$$ лежат на одной прямой, то $$MN \parallel AB$$. Кроме того, из $$DN=MN$$ и $$MD=MN+DN$$ получаем

$$MN=\frac{1}{2}MD.$$

Так как $$MD=AB$$, то

$$MN=\frac{1}{2}AB.$$

Итак, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Ответ

$$MN \parallel AB,\qquad MN=\frac{1}{2}AB.$$