Упр.482 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, OС и OD, — параллелограмм. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

1) Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, его диагонали пересекаются и делятся пополам. Значит, $$BO=OD$$ и $$AO=OC$$.

2) Точки $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ — середины отрезков $$OA, OB, OC, OD$$ соответственно. Тогда

$$A_1O=\frac12 AO,\quad C_1O=\frac12 OC,$$

следовательно, $$A_1O=C_1O$$. Аналогично

$$B_1O=\frac12 BO,\quad D_1O=\frac12 DO,$$

поэтому $$B_1O=D_1O$$.

Диагонали четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам. Значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

3) Теперь найдём площадь равнобедренной трапеции. Пусть из вершины тупого угла опущена высота на большее основание, и она делит его на отрезки $$1{,}4$$ см и $$3{,}4$$ см.

Обозначим основание высоты через $$H$$, а вторую точку её пересечения с основанием — через $$E$$. Тогда

$$HE=HD-AH=3{,}4-1{,}4=2\text{ см}.$$

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, поэтому соответствующие прямоугольные треугольники по бокам равны, и верхнее основание равно отрезку $$HE$$:

$$BC=2\text{ см}.$$

Тупой угол равен $$135^\circ$$, значит острый угол при основании равен

$$180^\circ-135^\circ=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углом $$45^\circ$$ катеты равны, поэтому высота трапеции

$$BH=AH=1{,}4\text{ см}.$$

Тогда площадь трапеции:

$$ S=\frac12(AD+BC)\cdot BH =\frac12(1{,}4+3{,}4+2)\cdot 1{,}4 =\frac12\cdot 6{,}8\cdot 1{,}4 =4{,}76\text{ см}^2. $$