Упр.480 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ четырёхугольника $$ABCD$$ отмечены соответственно точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ и $$Q$$ так, что $$AM=CP$$, $$BN=DQ$$, $$BM=DP$$, $$NC=QA$$. Докажите, что $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.
- Найдите площадь трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$, если:
а) $$AB=21\ \text{см}$$, $$CD=17\ \text{см}$$, высота $$BH$$ равна $$7\ \text{см}$$;
б) $$\angle D=30^\circ$$, $$AB=2\ \text{см}$$, $$CD=10\ \text{см}$$, $$DA=8\ \text{см}$$;
в) $$BC\perp AB$$, $$AB=5\ \text{см}$$, $$BC=8\ \text{см}$$, $$CD=13\ \text{см}$$.
Обозначим через $$\vec{AB}=\mathbf{u}$$ и $$\vec{AD}=\mathbf{v}$$. Тогда для точек на сторонах четырёхугольника из условий получаем:
$$AM=CP,\quad BM=DP,\quad BN=DQ,\quad NC=QA.$$
Сложим равные отрезки на противоположных сторонах:
$$AB=AM+MB,\qquad CD=CP+PD.$$
Так как $$AM=CP$$ и $$BM=DP,$$ то
$$AB=CD.$$
Аналогично
$$BC=BN+NC,\qquad AD=DQ+QA,$$
и из условий $$BN=DQ,$$ $$NC=QA$$ следует, что
$$BC=AD.$$
Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\angle B=\angle D$$ и $$\angle A=\angle C.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle MBN$$ и $$\triangle PDQ.$$ У них:
$$BM=DP,\quad BN=DQ,$$
и $$\angle MBN=\angle PDQ$$ как углы между соответственно параллельными сторонами параллелограмма. Следовательно,
$$\triangle MBN \cong \triangle PDQ$$
по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$MN=PQ.$$
Аналогично рассмотрим треугольники $$\triangle MAQ$$ и $$\triangle NCP.$$ У них:
$$AM=CP,\quad AQ=NC,$$
и $$\angle MAQ=\angle NCP.$$ Значит,
$$\triangle MAQ \cong \triangle NCP,$$
откуда
$$MQ=NP.$$
Итак, в четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.
Ответ
$$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.
