Упр.480 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 21 см, CD =17 см, высота ВH равна 7 см; б) угол D = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см; в) ВС перпендикулярен АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

1) Докажем, что $$ABCD$$ — параллелограмм.

Из условий $$BN=DQ$$ и $$NC=QA$$ получаем:

$$BC=BN+NC=DQ+QA=AD.$$

Из условий $$BM=DP$$ и $$AM=CP$$ получаем:

$$AB=BM+MA=DP+PC=CD.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCD$$ обе пары противоположных сторон равны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

2) Докажем, что $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$\angle B=\angle D$$ и $$\angle A=\angle C$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle MBN$$ и $$\triangle PDQ$$:

$$BM=DP,$$ $$BN=DQ,$$ $$\angle MBN=\angle PDQ.$$

Значит, $$\triangle MBN \cong \triangle PDQ$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$MN=PQ.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$\triangle MAQ$$ и $$\triangle NCP$$:

$$AM=CP,$$ $$AQ=NC,$$ $$\angle MAQ=\angle NCP.$$

Следовательно, $$\triangle MAQ \cong \triangle NCP$$, значит

$$MQ=NP.$$

Итак, в четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон равны, следовательно, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

3) Найдём площади трапеции $$ABCD$$.

а) Высота трапеции $$BH=7$$ см. Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot BH=\frac{1}{2}(21+17)\cdot 7=19\cdot 7=133\ \text{см}^2.$$

б) Опустим высоту $$AE$$ на основание $$CD$$. В прямоугольном треугольнике $$AED$$:

$$AE=AD\sin \angle D=8\cdot \sin 30^\circ=8\cdot \frac{1}{2}=4\ \text{см}.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AE=\frac{1}{2}(2+10)\cdot 4=24\ \text{см}^2.$$

в) Так как $$BC\perp AB$$, то $$BC$$ — высота трапеции. Следовательно,

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot BC=\frac{1}{2}(5+13)\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 8=72\ \text{см}^2.$$

Ответ

$$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы; а) $$133\ \text{см}^2$$; б) $$24\ \text{см}^2$$; в) $$72\ \text{см}^2$$.