Упр.478 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
- В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:
$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}.$$
Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то $$AO \perp BD$$ и $$CO \perp BD$$, а также $$BO \perp AC$$ и $$DO \perp AC$$. Поэтому площади этих треугольников выражаются так:
$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO,\qquad S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC,$$
$$S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD,\qquad S_{DOA}=\frac12 OD\cdot AO.$$
Сложим полученные выражения:
$$\begin{aligned} S_{ABCD} &=\frac12 AO\cdot BO+\frac12 BO\cdot OC+\frac12 CO\cdot OD+\frac12 OD\cdot AO \\ &=\frac12 AO(BO+OD)+\frac12 OC(BO+OD) \\ &=\frac12 (AO+OC)(BO+OD). \end{aligned}$$
Но $$AO+OC=AC$$, а $$BO+OD=BD$$. Значит,
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$
Ответ: $$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD$$.
