Упр.477 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, угол MNH = 30°. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см2.

Подробный ответ

1) Рассмотрим параллелограмм $$MNPQ$$. Так как $$NH \perp MQ$$, то треугольник $$MNH$$ прямоугольный, причём $$\angle MHN = 90^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$MNH$$:

$$\angle NMH = 90^\circ — \angle MNH = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ.$$

Но $$\angle NMH$$ — это угол параллелограмма при вершине $$M$$, значит

$$\angle M = 60^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle P = \angle M = 60^\circ,$$

$$\angle N = \angle Q = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ.$$

Теперь найдём стороны. В прямоугольном треугольнике $$MNH$$ угол $$\angle MNH = 30^\circ$$, значит сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы:

$$MH = \frac{1}{2}MN,$$

откуда

$$MN = 2\cdot MH = 2\cdot 3 = 6\text{ см}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$PQ = MN = 6\text{ см}.$$

Кроме того,

$$MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8\text{ см},$$

следовательно,

$$NP = MQ = 8\text{ см}.$$

2) Пусть диагонали ромба равны $$d_1$$ и $$d_2$$, причём одна из них в $$1{,}5$$ раза больше другой. Обозначим меньшую диагональ через $$x$$, тогда большая равна $$1{,}5x$$.

Площадь ромба выражается формулой

$$S=\frac{d_1d_2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x\cdot 1{,}5x}{2}=27,$$

$$0{,}75x^2=27,$$

$$x^2=36,$$

$$x=6\text{ см}.$$

Большая диагональ:

$$1{,}5\cdot 6=9\text{ см}.$$