Упр.475 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

1) Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Тогда $$\angle BAK=\angle KAD$$.

2) Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$BC \parallel AD$$. Следовательно, $$\angle BKA=\angle KAD$$ как накрест лежащие углы.

3) Из равенства $$\angle BAK=\angle BKA$$ получаем, что треугольник $$ABK$$ равнобедренный, значит $$AB=BK$$.

4) По условию $$BK=7$$ см, значит $$AB=7$$ см.

5) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $$CD=AB=7$$ см, а также $$AD=BC$$.

6) Сторона $$BC$$ состоит из отрезков $$BK$$ и $$KC$$, поэтому

$$BC=BK+KC=7+14=21\text{ см}.$$

Тогда $$AD=21$$ см.

7) Периметр параллелограмма:

$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(7+21)=56\text{ см}.$$

Ответ

$$56\text{ см}$$

Ход решения

1) Построим произвольный треугольник $$ABC$$.

2) Чтобы разделить его на три треугольника равной площади, отметим на стороне $$BC$$ точки $$D$$ и $$E$$ так, чтобы $$BD=DE=EC$$.

3) Проведём прямые $$AD$$ и $$AE$$.

4) Треугольники $$ABD$$, $$ADE$$ и $$AEC$$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $$A$$ на прямую $$BC$$, а их основания равны: $$BD=DE=EC$$. Значит, их площади равны.