Упр.470 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.

Подробный ответ

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна $$360^\circ$$. Пусть углы четырёхугольника пропорциональны числам $$1, 2, 4, 5$$, тогда обозначим их как $$x, 2x, 4x, 5x$$.

Тогда

$$x+2x+4x+5x=360^\circ$$

$$12x=360^\circ$$

$$x=30^\circ$$

Следовательно, углы четырёхугольника равны:

$$\angle A=30^\circ,\quad \angle B=60^\circ,\quad \angle C=120^\circ,\quad \angle D=150^\circ.$$

Теперь найдём высоту к меньшей стороне треугольника. Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и проведённую к ней высоту:

$$S=\frac{1}{2}ah$$

Для большей стороны $$7{,}5$$ см и высоты $$2{,}4$$ см получаем:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 7{,}5\cdot 2{,}4=9\ \text{см}^2.$$

Пусть $$h$$ — высота, проведённая к меньшей стороне $$3{,}2$$ см. Тогда

$$9=\frac{1}{2}\cdot 3{,}2\cdot h$$