Упр.466 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен $$8\text{ см}$$, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на $$3\text{ мм}$$, $$4\text{ мм}$$ и $$5\text{ мм}$$.
2. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна $$15{,}2\text{ см}$$, а один из его углов $$45^\circ$$.

Обозначим большую сторону параллелограмма через $$AB=15{,}2\text{ см}.$$

По условию диагональ равна стороне, значит $$BD=AB.$$ Тогда в треугольнике $$ABD$$ стороны $$AB$$ и $$BD$$ равны, следовательно, он равнобедренный.

Так как $$\angle A=45^\circ,$$ то в равнобедренном треугольнике $$ABD$$ углы при основании равны, и получаем

$$\angle ADB=\angle DAB=45^\circ,$$

откуда

$$\angle ABD=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABD$$ прямоугольный, а высота параллелограмма, опущенная на основание $$AB,$$ равна катету этого треугольника. Обозначим её через $$DH.$$ Тогда $$DH$$ — медиана к гипотенузе $$AB$$, поэтому

$$DH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 15{,}2=7{,}6\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$$S_{ABCD}=AB\cdot DH=15{,}2\cdot 7{,}6=115{,}52\text{ см}^2.$$

Ответ: $$115{,}52\text{ см}^2.$$