Упр.460 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы и проходит через вершину прямого угла треугольника.
- Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$. Проведём биссектрису угла $$\angle ACB$$ и обозначим через $$O$$ точку её пересечения с прямой $$AB$$.
Так как точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ACB$$, то она равноудалена от сторон $$CA$$ и $$CB$$. Значит, окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OB$$ касается стороны $$CB$$ в точке $$B$$.
Кроме того, поскольку $$O \in AB$$, то радиус $$OB$$ лежит на прямой $$AB$$, а значит, окружность проходит через вершину прямого угла $$B$$.
Остаётся проверить касание гипотенузы $$AC$$. Так как $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ACB$$, то расстояния от $$O$$ до прямых $$CA$$ и $$CB$$ равны. А расстояние от $$O$$ до $$CB$$ равно $$OB$$, следовательно, расстояние от $$O$$ до прямой $$AC$$ тоже равно $$OB$$. Значит, окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OB$$ касается гипотенузы $$AC$$.
Итак, искомая окружность построена.
