Упр.459 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны острый угол и его внутренняя точка $$A$$. Постройте на сторонах угла такие точки $$B$$ и $$C$$, чтобы периметр треугольника $$ABC$$ был наименьшим.
Пусть $$a$$ — основание, $$h$$ — высота, а $$S$$ — площадь параллелограмма. Найдите:
а) $$S$$, если $$a=15\text{ см}$$, $$h=12\text{ см}$$;
б) $$a$$, если $$S=34\text{ см}^2$$, $$h=8{,}5\text{ см}$$;
в) $$a$$, если $$S=162\text{ см}^2$$, $$h=\frac{1}{2}a$$;
г) $$h$$, если $$h=3a$$, $$S=27$$.

Подробный ответ

Пусть точки $$B$$ и $$C$$ лежат соответственно на сторонах угла. Чтобы периметр треугольника $$ABC$$ был наименьшим, используем свойство отражения.

Построим точки $$M$$ и $$N$$, симметричные точке $$A$$ относительно сторон угла. Тогда любая ломаная $$B A C$$ заменяется на отрезок $$M N$$, а длина пути $$B A + A C$$ будет наименьшей, когда точки $$B$$ и $$C$$ выбраны так, что $$B$$ и $$C$$ лежат на пересечении стороны угла с прямой $$MN$$.

Следовательно, нужно провести прямую $$MN$$ и отметить: