Упр.453 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две равные окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$, имеющие одну общую точку (такие окружности называются касающимися). Прямая $$m$$ является касательной к каждой из них в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. Докажите, что отрезок $$AB$$ равен отрезку $$O_1O_2$$.
- Как изменится площадь прямоугольника, если:
а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза;
б) каждую сторону увеличить в два раза;
в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?
Так как прямая $$m$$ касается первой окружности в точке $$A$$, а второй — в точке $$B$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:
$$O_1A \perp m,\qquad O_2B \perp m.$$
Следовательно, $$O_1A \parallel O_2B$$.
Пусть $$E$$ — точка пересечения прямых $$AO_2$$ и $$BO_1$$. Тогда рассмотрим треугольники $$\triangle AEO_1$$ и $$\triangle BEO_2$$.
У них:
$$\angle AEO_1=\angle BEO_2$$ — вертикальные углы,
$$\angle AO_1E=\angle BO_2E$$, так как $$O_1A \parallel O_2B$$ и $$O_1E$$, $$O_2E$$ лежат на одной прямой с соответствующими секущими.
Кроме того, $$O_1A=O_2B$$ как радиусы равных окружностей.
Значит, $$\triangle AEO_1 \cong \triangle BEO_2$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда
$$AE=BE,\qquad O_1E=EO_2.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle AEB$$ и $$\triangle O_1EO_2$$. У них:
$$AE=BE,\qquad O_1E=EO_2,$$
а угол между этими сторонами равен:
$$\angle AEB=\angle O_1EO_2.$$
Следовательно, $$\triangle AEB \cong \triangle O_1EO_2$$ по первому признаку равенства треугольников. Поэтому соответствующие стороны равны:
$$AB=O_1O_2.$$
Что и требовалось доказать.
