Упр.448 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
2. На стороне $$AD$$ прямоугольника $$ABCD$$ построен треугольник $$ADE$$ так, что его стороны $$AE$$ и $$DE$$ пересекают отрезок $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$, причём точка $$M$$ — середина отрезка $$AE$$. Докажите, что $$S_{ABCD}=S_{ADE}$$.

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$E$$ на прямую $$BC$$. Тогда $$EH \perp BC$$, а так как $$AD \parallel BC$$, то и $$EH \perp AD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$MEH$$. По условию $$AM=ME$$. Кроме того, $$\angle BMA=\angle EMH$$ как вертикальные углы, а $$\angle ABM=\angle MEH=90^\circ$$. Значит, $$\triangle ABM \cong \triangle MEH$$, откуда

$$AB=EH.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$EHN$$ и $$DCN$$. У них $$\angle EHN=\angle CDN=90^\circ$$, а также $$\angle ENH=\angle DNC$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$EH \perp AD$$ и $$BC \parallel AD$$. Следовательно, $$\triangle EHN \cong \triangle DCN$$, поэтому

$$CD=EH.$$

Из полученного имеем

$$AB=CD.$$

Тогда площади прямоугольника и треугольника можно выразить через общую высоту $$EH$$:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC,$$

$$S_{ADE}=\frac12\cdot AD\cdot EH.$$

Так как $$AB=CD$$ и в прямоугольнике $$AD=BC$$, а также из равенства треугольников получаем $$EH=AB$$, то

$$S_{ADE}=\frac12\cdot AD\cdot AB.$$

С другой стороны, площадь прямоугольника равна

$$S_{ABCD}=AD\cdot AB.$$

Следовательно,

$$S_{ADE}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Но по условию требуется доказать равенство площадей, значит в записи решения имеется несоответствие. Для данной конфигурации верное соотношение такое:

$$S_{ABCD}=2S_{ADE}.$$

Ответ: $$S_{ABCD}=2S_{ADE}.$$