Упр.447 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две точки $$A$$ и $$B$$ и прямая $$a$$, не проходящая через эти точки. На прямой $$a$$ постройте точку, равноудалённую от точек $$A$$ и $$B$$. Всегда ли задача имеет решение?
2. Начертите параллелограмм $$ABCD$$ и отметьте точку $$M$$, симметричную точке $$D$$ относительно точки $$C$$. Докажите, что $$S_{ABCD}=S_{AMD}$$.

Пусть точка $$M$$ — искомая точка на прямой $$a$$, для которой $$MA=MB$$. Все точки, равноудалённые от $$A$$ и $$B$$, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$.

Построим отрезок $$AB$$ и его серединный перпендикуляр. Обозначим точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой $$a$$ через $$M$$. Тогда $$MA=MB$$, значит, $$M$$ — искомая точка.

Однако такая точка на прямой $$a$$ существует не всегда. Если прямая $$a$$ не пересекает серединный перпендикуляр к $$AB$$, то решения нет. В частности, если $$a \parallel AB$$ и не совпадает с серединным перпендикуляром, задача не имеет решения.

Если же прямая $$a$$ сама является серединным перпендикуляром к $$AB$$, то любая её точка равноудалена от $$A$$ и $$B$$.

Ответ: задача имеет решение не всегда; оно существует тогда и только тогда, когда прямая $$a$$ пересекает серединный перпендикуляр к $$AB$$.