Упр.441 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. В треугольнике $$ABC$$ высота $$AA_1$$ не меньше стороны $$BC$$, а высота $$BB_1$$ не меньше стороны $$AC$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный и прямоугольный.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$.

Докажем сначала, что $$\angle C=90^\circ$$.

Предположим противное: точки $$A_1$$ и $$B_1$$ не совпадают с точкой $$C$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$. В нём $$AC$$ — гипотенуза, значит, $$AA_1<AC$$. По условию $$AA_1\ge BC$$, следовательно, $$BC<AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$. В нём $$BC$$ — гипотенуза, значит, $$BB_1<BC$$. По условию $$BB_1\ge AC$$, следовательно, $$AC<BC$$.

Получили одновременно $$BC<AC$$ и $$AC<BC$$ — противоречие. Значит, наше предположение неверно, и точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C$$ совпадают. Тогда $$AA_1$$ и $$BB_1$$ проходят через точку $$C$$, то есть $$\angle C=90^\circ$$.

Теперь из условий $$AA_1\ge BC$$ и $$BB_1\ge AC$$, а также из того, что $$A_1=B_1=C$$, получаем:

$$AA_1=AC,\qquad BB_1=BC.$$

Но в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ высота из прямого угла равна одному из катетов только тогда, когда катеты равны. Следовательно,

$$AC=BC.$$

Итак, $$\angle C=90^\circ$$ и $$AC=BC$$, значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный.