Упр.441 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольнике ABC высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Подробный ответ

1) Докажем, что $$\angle C=90^\circ$$.

Предположим, что точки $$A_1$$ и $$B_1$$ не совпадают с точкой $$C$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$. В нём $$AC$$ — гипотенуза, значит, $$AA_1<AC$$. По условию $$AA_1\ge BC$$, следовательно, $$BC<AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$. В нём $$BC$$ — гипотенуза, значит, $$BB_1<BC$$. По условию $$BB_1\ge AC$$, следовательно, $$AC<BC$$.

Получили противоречие: одновременно $$BC<AC$$ и $$AC<BC$$. Значит, наше предположение неверно, и точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C$$ совпадают. Тогда $$\angle C=90^\circ$$.

2) Теперь из условий $$AA_1\ge BC$$ и $$BB_1\ge AC$$, а также из того, что $$A_1=B_1=C$$, получаем:

$$AA_1=AC,\qquad BB_1=BC,$$

то есть

$$AC\ge BC,\qquad BC\ge AC.$$

Следовательно, $$AC=BC$$.

Итак, $$\angle C=90^\circ$$ и $$AC=BC$$, значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный.

Ответ

$$\angle C=90^\circ,\quad AC=BC.$$ Следовательно, $$\triangle ABC$$ — равнобедренный и прямоугольный.

Ход решения

Пусть $$ABCD$$ — ромб, а его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Докажем, что прямая $$BD$$ является осью симметрии ромба. В ромбе все стороны равны, значит, $$AB=BC$$ и $$AD=DC$$. Кроме того, диагональ ромба $$BD$$ делит его на треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$, у которых:

$$AB=CB,\quad AD=CD,\quad BD=BD.$$

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по трём сторонам. Значит, точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно прямой $$BD$$, а сама прямая $$BD$$ является осью симметрии ромба.

Аналогично, диагональ $$AC$$ делит ромб на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$, у которых:

$$AB=AD,\quad BC=CD,\quad AC=AC.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ADC$$ по трём сторонам. Значит, точки $$B$$ и $$D$$ симметричны относительно прямой $$AC$$, а прямая $$AC$$ также является осью симметрии ромба.

Итак, обе прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.