Упр.440 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Подробный ответ

Пусть $$BO$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Построим на сторонах $$BC$$ и $$BA$$ квадраты $$BCDE$$ и $$BNMA$$.

Так как $$BO$$ — медиана, то точка $$O$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$AO=OC$$. Кроме того, в квадрате $$BCDE$$ имеем $$BC=BE$$ и $$BC \parallel DE$$, а в квадрате $$BNMA$$ — $$BA=BN$$ и $$BA \parallel NM$$.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. У них:

$$AO=OC$$;
$$OD=OB$$;
$$\angle AOD=\angle BOC$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AD=BC$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$EBN$$ и $$ABD$$. Так как $$BCFE$$ и $$BNMA$$ — квадраты, то

$$EB=BC,\qquad BN=BA,\qquad \angle EBN=\angle ABD=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle EBN \cong \triangle ABD$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $$EN=BD$$.

Но из равенства предыдущих треугольников и свойств квадрата получаем, что соответствующие стороны равны медиане вдвое: $$BD=2BO$$. Следовательно,

$$NE=BD=2BO.$$

Таким образом, отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы, проведённой из этой же вершины.