Упр.440 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.
- На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
Пусть $$\angle ACH=\angle MCH=\angle MCB=\alpha.$$
Так как $$CH$$ — высота и медиана треугольника $$ACM$$, то $$\triangle ACM$$ равнобедренный, следовательно, $$AH=HM=x$$, а значит $$MB=2x.$$
Проведём $$MD\perp BC.$$ Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle CHM$$ и $$\triangle CDM$$. У них
$$CM$$ — общая гипотенуза,
$$\angle MCH=\angle MCD,$$
значит, $$\triangle CHM\cong \triangle CDM$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$HM=MD=x.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle MDB$$. В нём $$MD=\frac12 MB,$$ значит, угол при $$B$$ равен $$30^\circ$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle BCH$$. Тогда
$$\angle BCH=90^\circ-\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
Но $$\angle BCH=2\alpha$$, следовательно,
$$2\alpha=60^\circ,\qquad \alpha=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle C=3\alpha=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle ABC$$ прямоугольный.
