Упр.439 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
2. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $$90^\circ$$. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$\angle A+\angle D=90^\circ$$. Обозначим через $$N$$ середину основания $$BC$$, через $$M$$ — середину основания $$AD$$. Требуется доказать, что

$$MN=\frac12(AD-BC).$$

Построим через точку $$N$$ прямые $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$, где $$E,F \in AD$$.

1. Так как $$NE \parallel AB$$ и $$AE \subset AD \parallel BC \parallel NC$$, то $$ABNE$$ — параллелограмм. Аналогично $$NCDF$$ — параллелограмм.
2. Из свойств параллелограмма получаем:
   $$AE=BN,\qquad FD=NC.$$
3. Так как $$N$$ — середина $$BC$$, то $$BN=NC$$. Следовательно,
   $$AE=NC,\qquad FD=NC,$$
   значит,
   $$AE=FD.$$
4. Поскольку $$AM=MD$$, точка $$M$$ — середина отрезка $$AD$$. Тогда
   $$AM=AE+EM,\qquad MD=FD+MF.$$
   Из равенства $$AM=MD$$ и $$AE=FD$$ следует
   $$EM=MF,$$
   то есть $$M$$ — середина отрезка $$EF$$.
5. Углы $$\angle A$$ и $$\angle NEM$$ равны как соответственные при $$NE \parallel AB$$ и $$EM \subset AD \parallel BC$$, а углы $$\angle D$$ и $$\angle NFM$$ равны как соответственные при $$NF \parallel CD$$ и $$FM \subset AD$$.
6. По условию $$\angle A+\angle D=90^\circ$$, значит
   $$\angle NEM+\angle NFM=90^\circ.$$
   Следовательно, в четырёхугольнике $$ENFM$$ угол $$\angle ENF$$ прямой, то есть треугольник $$ENF$$ прямоугольный.
7. В прямоугольном треугольнике $$ENF$$ точка $$M$$ — середина гипотенузы $$EF$$, значит
   $$NM=\frac12 EF.$$
8. Найдём $$EF$$:
   $$EF=AD-AE-FD.$$
   Так как $$AE=BN$$ и $$FD=NC$$, то
   $$EF=AD-(BN+NC)=AD-BC.$$
   Тогда
   $$NM=\frac12 EF=\frac12(AD-BC).$$

Что и требовалось доказать.