Упр.438 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.
- В трапеции $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ диагональ $$AC$$ перпендикулярна к боковой стороне $$CD$$, $$\angle BAC=\angle CAD$$. Найдите $$AD$$, если периметр трапеции равен $$20\ \text{см}$$, а $$\angle D=60^\circ$$.
Так как $$BC \parallel AD$$, а $$AC \perp CD$$, то угол между прямыми $$AC$$ и $$CD$$ равен $$90^\circ$$. При $$\angle D=60^\circ$$ получаем
$$\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
По условию $$\angle BAC=\angle CAD$$, значит
$$\angle BAC=30^\circ.$$
Тогда угол при вершине $$A$$ трапеции равен
$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$
Но $$\angle A=\angle D=60^\circ$$, следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, поэтому
$$AB=CD.$$
Рассмотрим треугольник $$ACD$$. В нём
$$\angle ACD=90^\circ$$, а $$\angle CAD=30^\circ,$$ значит
$$\angle ADC=60^\circ.$$
Треугольник $$ACD$$ — прямоугольный с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$, $$90^\circ$$, поэтому сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы:
$$CD=\frac12 AD.$$
Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD=\frac12 AD.$$
Теперь найдём периметр:
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=20.$$
Поскольку трапеция равнобедренная, то $$BC=AD-AB-CD=AD-\frac12 AD-\frac12 AD=0$$ не подходит; значит, удобнее использовать равенство боковых сторон и свойство проекции. В равнобедренной трапеции разность оснований равна удвоенной проекции боковой стороны на основание, а здесь из треугольника $$ACD$$ получаем, что боковая сторона $$CD=\frac12 AD$$, следовательно
$$AB=CD=\frac12 AD.$$
Тогда
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=\frac12 AD+BC+\frac12 AD+AD=2AD+BC.$$
Из равнобедренной трапеции и угла $$60^\circ$$ следует, что $$BC=AB=\frac12 AD$$, поэтому
$$P_{ABCD}=\frac12 AD+\frac12 AD+\frac12 AD+AD=\frac52 AD.$$
Тогда
$$\frac52 AD=20,$$
откуда
$$AD=8\text{ см}.$$
Ответ
$$AD=8\text{ см}.$$
