Упр.438 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, угол BAC = угол СAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a угол D = 60°.

Подробный ответ

1) Так как $$AB<AC$$, то в треугольнике $$ADC$$ меньшей стороне $$AC$$ противолежит меньший угол, значит $$\angle ADC<\angle ACD$$.

2) Углы $$\angle ADC$$ и $$\angle ACD$$ в сумме дают $$180^\circ$$, поэтому $$\angle ADC<90^\circ$$ и $$\angle ACD>90^\circ$$.

3) Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Высота $$AH$$ из вершины $$A$$ падает на сторону $$DC$$. Так как $$\angle ADC<90^\circ$$, то точка $$H$$ лежит на отрезке $$DC$$.

4) Пусть $$M$$ — середина стороны $$DC$$, тогда $$AM$$ — медиана. В треугольнике $$ADC$$ биссектриса из вершины $$A$$ пересекает сторону $$DC$$ в точке $$D_1$$. Поскольку в треугольнике меньшей стороне соответствует меньший угол, а $$\angle ADC<\angle ACD$$, то точка пересечения биссектрисы лежит ближе к меньшему углу, чем середина стороны $$DC$$, то есть между точками $$H$$ и $$M$$.

Следовательно, основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из той же вершины.

Теперь решим задачу с трапецией.

Из условия $$AC\perp CD$$, значит треугольник $$ACD$$ прямоугольный, и при $$\angle D=60^\circ$$ получаем

$$\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

По условию $$\angle BAC=\angle CAD=30^\circ$$, значит

$$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Так как $$\angle BAD=\angle D=60^\circ$$, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, следовательно, $$AB=CD$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACD$$ угол при $$A$$ равен $$30^\circ$$, поэтому катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$CD=\frac12 AD.$$

Так как $$BC\parallel AD$$, то $$AC$$ — секущая, и

$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны: