Упр.437 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$ABC$$, где $$AB
На диагонали $$AC$$ квадрата $$ABCD$$ взята точка $$M$$ так, что $$AM=AB$$. Через точку $$M$$ проведена прямая, перпендикулярная к прямой $$AC$$ и пересекающая $$BC$$ в точке $$H$$. Докажите, что $$BH=HM=MC$$.

Подробный ответ

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Тогда диагональ $$AC$$ делит прямой угол при вершине $$C$$ пополам, значит

$$\angle BCA=45^\circ.$$

Так как точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$ и $$AM=AB$$, а в квадрате $$AB=BC$$, то

$$AM=BC.$$

Проведём через точку $$M$$ прямую, перпендикулярную $$AC$$, и пусть она пересекает $$BC$$ в точке $$H$$. Тогда

$$\angle CMH=90^\circ-\angle BCA=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$CMH$$ равнобедренный, поэтому

$$HM=CM.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$AMC$$. У них

$$AB=AM,$$

$$\angle ABH=\angle ACM=90^\circ,$$

а также $$BH$$ и $$CM$$ лежат на одной прямой $$BC$$, значит соответствующие углы при вершине $$B$$ и $$C$$ равны. Поэтому треугольники $$ABH$$ и $$AMC$$ равны, откуда

$$BH=CM.$$

Тогда

$$BH=HM=MC.$$

Ответ: $$BH=HM=MC$$.