Упр.437 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольнике ABC, где АВ < АС, отрезок AD — биссектриса, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на луче DB. На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.

Подробный ответ

1) Пусть $$ABCD$$ — квадрат, $$AC$$ — его диагональ, $$M \in AC$$ и $$AM=AB$$. Через точку $$M$$ проведена прямая $$l \perp AC$$, которая пересекает $$BC$$ в точке $$H$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то диагональ образует с его сторонами углы по $$45^\circ$$, значит

$$\angle BCA=\angle ACD=45^\circ.$$

Поскольку $$MH \perp AC$$, получаем

$$\angle CMH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$CMH$$ углы при основании равны, значит он равнобедренный, и потому

$$HM=CM.$$

2) Проведём отрезок $$AH$$. Тогда в треугольниках $$ABH$$ и $$MAH$$:

$$AH$$ — общая сторона;
$$AB=AM$$ по условию;
$$\angle BAH=\angle HAM$$, так как луч $$AH$$ лежит внутри угла между сторонами квадрата и диагональю, а $$AB \parallel CD$$, $$BC \parallel AD$$.

Значит, $$\triangle ABH \cong \triangle MAH$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:

$$BH=HM.$$

Из уже полученного равенства $$HM=CM$$ имеем

$$BH=HM=CM.$$