Упр.436 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Через вершину $$A$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, а из вершины $$B$$ проведён перпендикуляр $$BH$$ к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника $$BCH$$ больше периметра треугольника $$ABC$$.
- Задание учебника 2023 года. Диагональ $$AC$$ квадрата $$ABCD$$ равна $$18{,}4\ \text{см}$$. Прямая, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная к прямой $$AC$$, пересекает прямые $$BC$$ и $$CD$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Найдите $$MN$$.
Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$\angle DAB$$, а также образует с каждой стороной квадрата угол $$45^\circ$$.
Пусть прямая, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная к $$AC$$, пересекает прямые $$BC$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно.
Рассмотрим треугольник $$CAM$$. Так как $$AM \perp AC$$, то $$\angle CAM=90^\circ$$. Кроме того, $$\angle ACM=45^\circ$$, поскольку $$CM \parallel BC$$, а $$\angle ACB=45^\circ$$. Тогда $$\angle CMA=45^\circ$$, значит, треугольник $$CAM$$ равнобедренный, и
$$MA=AC=18{,}4\text{ см}.$$
Аналогично для треугольника $$CAN$$: $$AN \perp AC$$, значит $$\angle CAN=90^\circ$$, а $$\angle ACN=45^\circ$$, поэтому $$\angle CNA=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$CAN$$ равнобедренный, и
$$AN=AC=18{,}4\text{ см}.$$
Тогда
$$MN=MA+AN=18{,}4+18{,}4=36{,}8\text{ см}.$$
Ответ: $$36{,}8\text{ см}$$.
