Упр.433 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
- Из вершины $$B$$ ромба $$ABCD$$ проведены перпендикуляры $$BK$$ и $$BM$$ к прямым $$AD$$ и $$DC$$. Докажите, что луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.
Рассмотрим ромб $$ABCD$$. В ромбе все стороны равны, значит $$AB=BC$$. Кроме того, диагональ ромба $$BD$$ делит угол $$B$$ пополам, то есть $$\angle ABD=\angle DBC$$.
Пусть $$BK\perp AD$$ и $$BM\perp DC$$. Тогда треугольники $$\triangle BKA$$ и $$\triangle BMC$$ прямоугольные.
Так как $$AB=BC$$, а $$\angle BAK=\angle BCM$$, то прямоугольные треугольники $$\triangle BKA$$ и $$\triangle BMC$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда
$$BK=BM.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle DBK$$ и $$\triangle DBM$$. У них:
$$BD$$ — общая сторона,
$$BK=BM,$$
а также $$\angle KBD=\angle DBM,$$ потому что $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, а лучи $$BK$$ и $$BM$$ лежат внутри этого угла.
Следовательно, треугольники $$\triangle DBK$$ и $$\triangle DBM$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$\angle KBD=\angle DBM.$$
Но это и означает, что луч $$BD$$ является биссектрисой угла $$KBM$$.
Ответ
$$BD$$ — биссектриса угла $$KBM$$.
