Упр.432 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ больше стороны $$AC$$, отрезок $$AD$$ — биссектриса. Докажите, что $$\angle ADB > \angle ADC$$ и $$BD > CD$$.
- Задание учебника 2023 года. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AN$$ и $$MC$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.
Пусть $$K=AN\cap BD$$ и $$E=CM\cap BD$$.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AB\parallel CD,\; BC\parallel AD$$.
Рассмотрим треугольники $$ABN$$ и $$CDM$$. Имеем:
- $$BN=NC$$, так как $$N$$ — середина $$BC$$;
- $$AM=MD$$, так как $$M$$ — середина $$AD$$;
- $$\angle ABN=\angle CDM$$, поскольку $$AB\parallel CD$$, а $$BN$$ и $$DM$$ лежат на одной прямой $$BC$$ и $$AD$$ соответственно.
Кроме того, $$BN=NC$$ и $$AM=MD$$, а в параллелограмме $$BC=AD$$, значит
$$BN=MD.$$
Следовательно, $$\triangle ABN \cong \triangle CDM$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AN=CM.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ANCM$$. В нём
$$AN\parallel CM$$ и $$AM\parallel NC,$$
так как в параллелограмме $$ABCD$$ отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, параллельны соответствующим сторонам. Значит, $$ANCM$$ — параллелограмм.
Пусть $$K=AN\cap BD$$ и $$E=CM\cap BD$$. Тогда в параллелограмме $$ANCM$$ прямая $$BD$$ пересекает его стороны $$AN$$ и $$CM$$ в точках $$K$$ и $$E$$. По теореме Фалеса для параллельных прямых $$AN\parallel CM$$ получаем
$$BK=KE=ED.$$
Значит, прямая $$AN$$ и прямая $$CM$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.
Ответ: $$BK=KE=ED$$.
