Упр.431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри треугольника $$ABC$$ взята такая точка $$D$$, что $$AD=AB$$. Докажите, что $$AC>AB$$.
2. Точка $$K$$ — середина медианы $$AM$$ треугольника $$ABC$$. Прямая $$BK$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AD=\frac{1}{3}AC$$.

Обозначим через $$M$$ середину стороны $$BC$$, так как $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$. По условию точка $$K$$ — середина медианы $$AM$$, значит $$AK=KM$$.

Через точку $$K$$ проведём прямую, параллельную $$BD$$, и пусть она пересекает сторону $$AC$$ в точке $$F$$. Тогда по теореме Фалеса в треугольнике $$ABD$$ получаем:

$$\frac{AK}{KM}=\frac{AF}{FC}$$

Но $$AK=KM$$, следовательно, $$AF=FC$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ — середина $$BC$$, а $$K$$ — середина $$AM$$, то прямая через $$K$$, параллельная $$BD$$, делит сторону $$AC$$ в отношении, которое позволяет получить равенство отрезков на основании теоремы Фалеса. Из построения имеем также $$DF=FC$$, а значит

$$AC=AD+DF+FC=AD+2DF.$$

Поскольку $$DF=AD$$, то

$$AC=AD+AD+AD=3AD.$$

Следовательно,

$$AD=\frac13\,AC.$$

Ответ

$$AD=\frac13\,AC$$