Упр.431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что AD=AB. Докажите, что АС>АВ. Точка К — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 1/3АС.

Подробный ответ

1) Рассмотрим точку $E$ — пересечение прямой $AD$ со стороной $BC$.

Так как точка $D$ лежит внутри треугольника, то отрезок $AD$ короче любого пути от $A$ до точки на стороне $BC$, в частности

$$AD<AE.$$

По условию $$AD=AB.$$

Тогда из неравенства $$AD<AE$$ получаем

$$AB<AE.$$

Но в треугольнике $AEC$ выполняется неравенство треугольника:

$$AE<AC.$$

Следовательно,

$$AB<AC,$$

то есть

$$AC>AB.$$

2) Пусть $M$ — середина $BC$, а $K$ — середина медианы $AM$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную $BD$, и обозначим её пересечение с $AC$ через $F$.

Тогда в треугольнике $CBD$ прямая $MF \parallel BD$, значит, по теореме Фалеса

$$\frac{CF}{CD}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$CF=DF.$$

Так как $K$ — середина $AM$, а $MF \parallel BD$, то в треугольнике $ABD$ по теореме Фалеса получаем

$$KD \parallel MF,$$

следовательно,

$$AD=DF.$$

Из равенства $$CF=DF$$ и $$DF=AD$$ имеем

$$CF=AD.$$

Тогда

$$AC=AD+DF+FC=AD+AD+AD=3AD.$$